工作 ３
大きなものを、一定の形の小さな部品を組み合わせて作るのは工作の醍醐味です。
たとえば、レゴ・ブロックのようなおもちゃの面白さも、まさにそれに尽きると思います。
「複雑」なものを無数の「単純」なパーツを組みあわせて「近似」することは、まさに数学（この場合は解析学）の理念そのもので、たとえ「数学が嫌いと思い込んでいる人」でも、この面白さを理解できる人は「数学が好き」だと公言しても良いのではないかと思います。
今回は、ちょっとしたきっかけで製作を思い立った下のような「球体」の模型を紹介します。
山口大学理学部主催で毎年行われている理学部サイエンスワールドの出展ネタとして、昨年は同じ太さの角材（断面が１辺約1cmの正方形）を集めて下のような球体を製作しました。
この立体は、長さの異なる２１６本の角材を並べて球を近似したもので、工程はまさに積分の概念そのものです。
木材の切断に果てしなく時間を費やしたものの、製作過程は楽しく完成品もまずまず満足ゆくものだったのですが、次のような点に不満が残りました。
製作費： 角材の単価はたいしたものではありませんが、このように大量に使うと無視できない金額になってきます。ちなみに、この球体の製作には角材の費用だけで８０００円くらいかかっています。
材料の精度： 一見均等に見える角材の太さも、実はコンマ数ミリ程度の誤差があります。これは無視できない量で、実は完成品を近くで見ると角材同士の間に隙間が見えます。
加工精度： 写真の球を地球に見たて、北極あたりをよく見ると、赤道付近と比べて角材の長さがほとんど同じであることがわかります。実際、北極から南極を貫く付近の角材の長さは0.1ミリ単位の差しかないのですが、薄いものでも0.3ミリ以上の厚さがあるノコギリを使ってこの精度を実現するのは非常に困難です。
このように、単純なパーツを組み合わせて大きく精巧な立体を実際に製作する場合、実はパーツの「精度」と「単価」が最も重要な問題になります。
そこで、今回パーツとして使用したのが「BB弾」です。これはエアガンに使用する弾丸なのですが、飛距離や命中精度を高めるために精巧な部品で作られた最近のエアガンに対応するため、この弾丸の方も大変高い精度で加工されています。また、屋外で大量に使い捨てられるため単価も安く、どこでも簡単に手にいれることもでき、今回のような用途にはうってつけの素材です。
材料さえ決まれば、後は「設計」と「加工」です。
この模型も他と同様、芸術作品ではなく、あくまでも「数学の教材」なので、設計にあたっては数学的背景をそれなりに説明しておく必要があります。
１．設計
同じ大きさの球を積み重ねてゆき、最も安定した高密度の状態が六方最密充填構造です。数学では球充填という有名な問題で、古くから研究されています。
今回の球の模型のイメージは、上記の充填構造（正規充填）を持ったＢＢ弾の塊があり、そこから、できるだけ球に近い形が残るように余分なＢＢ弾を取り除いてゆくといったものです。塊から取り除く部品をいくらでも細かくできれば、例えば木片から削り出すような場合、少なくとも見かけ上は完全な球を作りだすことができます。しかし、今回のように取り除く部品の大きさが決まっている場合、「取り除く場合と取り除かない場合のどちらが球に近くなるか？」を判定しなければなりません。今回採用した方法を数学らしく説明をすると次の通りです。
・ＢＢ弾１個の直径を１単位とし、正規充填されたＢＢ弾の塊の中に半径１０の球を考える。
・それぞれのＢＢ弾の中心の座標を考え、それが上記の球の内側にあればそのＢＢ弾は残し、外側にあれば取り除く。具体的には、中心の座標をが（xk,yk,zk）であるＢＢ弾 「Ｂk」に対して次のような判定を行います。
実際には、ＢＢ弾の塊から取り除く作業は現実的ではないので、上の判定条件を満たすようにＢＢ弾を積み上げて球を構成してゆきます。
ちなみに、１段目は下の写真のようになります。
１段目のＢＢ弾の中心の座標は
となることは明らかですが、２段目以降のz座標は少し考える必要があります。
実際、２段目を積み重ねると下の写真のようになります。
（２段目は黄色で、黒の部分には本来ＢＢ弾はありません。積み重ねる都合上置いたものです。）
２段目の (x, y) 座標が整数の格子点となることは明らかですが、以下の図に注意してz座標を計算すると、２段目のＢＢ弾の中心の座標は次のようになることがわかります。
このようにして、一般にｋ段目のＢＢ弾の中心の座標は次のようになることがわかります。
このようにして、ｋ段目にはどのようにＢＢ段を配置すればよいかが計算できます。ちなみに、５段目の配置は次のようになります。
２．充填密度と円周率
直径の１（半径1/2）の円と一辺の長さが１の正方形の面積比は次のようになります。
よって、平面上に、整数の格子点を中心とした半径1/2の円を敷き詰めてゆくと、平面の中で円の面積の占める割合の平均（ここでは「密度」と呼ぶことにする）は「π/4」となります。
ところで、半径１０の円の面積は
となります。この形を上の絵のように半径1/2の円で再現しようとすると当然隙間ができますが、それは上で紹介した意味での「密度」が１より小さいためです。よって、半径1/2の円で再現した半径１０の円の面積は理論的には次のようになります。
ところで、今回製作した模型の１段目では、半径１０の円を半径1/2のＢＢ弾３１６個で再現しています。これを「半径１０の円を半径1/2の円３１６個で再現した」とみなすと、その面積は次のようになります。
このことから、既に計算した理論値より、π に関する次の近似式が得られます。
この考え方を、次は正規充填で近似された球で考えてみます。
先ほど、平面に敷き詰めた円の平均密度を計算しましたが、同様にして、空間に正規充填された球の平均密度を計算することができ、その値は次のようになります。
また、半径１０の球の体積は
となるので、これを半径1/2の球で再現したとき、その体積は
となります。ところで今回の球の製作に使用したＢＢ弾の総数は5866個なので、こららの体積の合計は
となります。よって理論値から求められる π の近似値は次のようになります。
３．表面に現れる模様と多面体
次の２枚の画像を見ると、この球が「６枚の正方形」と「８枚の正六角形」でできていることがわかります。
これは、半正多面体の一種である「切頂八面体」と呼ばれる多面体で、立方体の８つの頂点を切断面が正六角形になるように切り落としたものです。
４．おまけ
「エポック社」が作っている「アクアビーズ」という子供向けのおもちゃがあります。
これは、直径５ｍｍの水溶性のビーズ同士を水でくっつけていろいろな形を作ることができるというものです。
単価（１個１円弱）や精度の問題で今回はこれを使いませんでしたが、小さいサイズのものを試しに作ってみるには悪くないのではないかと思います。ただし、少し大きなものを作ろうとすると驚くほどコストがかさんでゆくので注意して下さい。