円領域での波の伝播

円盤上の波の伝播のシミュレーション動画です。

境界が固定されている場合（例： 太鼓の膜の振動）

境界が固定されていない場合（例： コップの中の水面の動き）

波の伝播の様子は、波動方程式という偏微分方程式によって記述されます。
上の2つの動画は、円盤上の波が時間によってどうのように変化するかを計算した結果ですが、上は太鼓のように境界の円周が固定されたモデル、下はコップの中の水面のように境界の円周が固定されていないモデルです。これらを比べると、最初は同じ形状だった波が、時間によって全く異なる挙動をすることが分かります。

これらの波の動きは

に対して、計算によって次のような数式で記述されることがわかります。（計算は主に研究室の大学院生が行いました。）

【境界が固定されている場合】

ただし

【境界が固定されていない場合】

ただし